Векторы на плоскости и в пространстве
Полное руководство по пониманию, вычислению и применению векторов в 2D и 3D.
1. Два лица вектора
Геометрическое лицо
Вектор — это величина, которая имеет как модуль (длину), так и направление. Геометрически мы представляем его как направленный отрезок — стрелку, проведённую от начальной точки (начало) до конечной точки (конец).
Координатное (алгебраическое) лицо
Алгебраически вектор — это упорядоченная пара (в 2D) или упорядоченная тройка (в 3D) действительных чисел:
В 2D: $\;\mathbf{v} = \langle a,\, b \rangle$ | В 3D: $\;\mathbf{v} = \langle a,\, b,\, c \rangle$
Эти числа называются компонентами (координатами) вектора.
Мост: Радиус-векторы
Два представления связаны через радиус-вектор. Если мы поместим начало вектора в начало координат $O$, его конец окажется в точке, координаты которой совпадают с компонентами вектора. Таким образом, точке $P(a, b, c)$ соответствует радиус-вектор $\overrightarrow{OP} = \langle a, b, c \rangle$.
Обе стрелки имеют одинаковую длину и направление — они представляют один и тот же свободный вектор $\langle 4, 3 \rangle$.