Операции с матрицами: сложение и умножение на скаляр
Основные поэлементные операции, которые превращают матрицы в структуру векторного пространства.
1. Сложение матриц
Определение (поэлементное сложение)
Пусть $A = [a_{ij}]$ и $B = [b_{ij}]$ — матрицы размера $m \times n$. Их сумма определяется поэлементно:
$$ A + B = [a_{ij} + b_{ij}] $$То есть $(i,j)$-й элемент матрицы $A+B$ — это просто $a_{ij} + b_{ij}$.
Конкретный пример
Пусть
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} $$Обе матрицы имеют размер $2 \times 2$, поэтому сложение определено:
$$ A + B = \begin{bmatrix} 1+4 & -2+5 \\ 3+(-1) & 0+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} $$Несовместимая пара — сложение невозможно
Пусть
$$ C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}_{2 \times 3}, \quad D = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \end{bmatrix}_{2 \times 2} $$$C$ имеет размер $2 \times 3$, а $D$ — размер $2 \times 2$. Количество столбцов различается ($3 \neq 2$), поэтому $C + D$ не определено.
Вычитание через противоположную матрицу
Аддитивно обратная (или противоположная) матрица к $A$ — это $-A = (-1)A = [-a_{ij}]$, полученная сменой знака каждого элемента. Тогда:
$$ A - B = A + (-B) $$Для матриц из примера выше:
$$ A - B = \begin{bmatrix} 1-4 & -2-5 \\ 3-(-1) & 0-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -7 \\ 4 & -2 \end{bmatrix} $$Обратите внимание на элемент $(2,1)$: $3 - (-1) = 3 + 1 = 4$. При вычитании отрицательного числа происходит сложение — это частый источник ошибок со знаками.