1. Почему именно такое определение? — Композиция линейных подстановок
Ключевая идея: Умножение матриц определяется не поэлементным умножением соответствующих элементов. Это определение продиктовано требованием, чтобы произведение матриц соответствовало композиции линейных преобразований, которые они представляют.
1.1 Мотивирующий пример — Две последовательные замены переменных
Предположим, у нас есть две последовательные линейные подстановки (замены переменных):
Шаг 1. Выразим переменные $y_1, y_2$ через $x_1, x_2, x_3$:
$$ y_1 = 2x_1 + 3x_2 - x_3, \qquad y_2 = x_1 - 4x_2 + 5x_3 $$В матричной форме, при $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -4 & 5 \end{pmatrix}$ и $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$, это записывается как $\mathbf{y} = A\mathbf{x}$.
Шаг 2. Выразим переменную $z_1$ через $y_1, y_2$:
$$ z_1 = 4y_1 + 7y_2 $$В матричной форме, при $B = \begin{pmatrix} 4 & 7 \end{pmatrix}$ (матрица $1 \times 2$), это записывается как $\mathbf{z} = B\mathbf{y}$.
Композиция. Подставим шаг 1 в шаг 2:
$$ z_1 = 4(2x_1 + 3x_2 - x_3) + 7(x_1 - 4x_2 + 5x_3) $$ $$ z_1 = 8x_1 + 12x_2 - 4x_3 + 7x_1 - 28x_2 + 35x_3 $$ $$ z_1 = 15x_1 - 16x_2 + 31x_3 $$Составная подстановка $\mathbf{z} = C\mathbf{x}$ имеет $C = \begin{pmatrix} 15 & -16 & 31 \end{pmatrix}$.
Главный вывод: Посмотрите, как вычислялся каждый элемент $C$. Например, $c_{11} = 4 \cdot 2 + 7 \cdot 1 = 15$. Это скалярное произведение строки $B$ на первый столбец $A$. Правило «строка на столбец» — это единственное правило, при котором $BA$ равно матрице составного преобразования $B \circ A$.