1. От систем уравнений к матричной форме
Новый уровень: зачем нужны матрицы?
Вы уже умеете решать системы из двух или трёх линейных уравнений методом подстановки или сложения. Теперь мы сжимаем эти системы в одно матричное уравнение. Это не просто сокращённая запись — она открывает единую теорию для систем любого размера и позволяет применить весь арсенал определителей, обратных матриц и ранга.
Вспомним: система двух уравнений
Рассмотрим знакомую систему:
$$\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = c_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2} \end{cases}$$Разделим коэффициенты, неизвестные и правую часть:
$$\underbrace{\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}}_{A}\;\underbrace{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}_{\mathbf{x}} = \underbrace{\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}}_{\mathbf{b}}$$Система трёх уравнений
$$\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2} \\ a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3} \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix}$$Основные определения
| Название | Обозначение | Описание |
|---|---|---|
| Матрица коэффициентов | $A$ | Матрица размера $m \times n$, составленная из коэффициентов при неизвестных |
| Столбец неизвестных | $\mathbf{x}$ | Столбец-вектор размера $n \times 1$, содержащий переменные |
| Столбец правой части | $\mathbf{b}$ | Столбец размера $m \times 1$, содержащий свободные члены |
| Расширенная матрица | $[A \mid \mathbf{b}]$ | Матрица $A$, к которой добавлен столбец $\mathbf{b}$, отделённый вертикальной чертой |
Компактная запись выглядит просто:
$$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$$Что это даёт? Любая система — будь то $2 \times 2$, $3 \times 3$ или $100 \times 47$ — теперь записывается в одной и той же форме. Все инструменты матричной алгебры (элементарные преобразования строк, определители, обратные матрицы, ранг) применяются единообразно.