1. Вопрос, с которого всё начинается
Главный вопрос
Дана квадратная матрица $A$ (рассматриваемая как линейное преобразование). Какие ненулевые векторы сохраняют своё направление — лишь растягиваясь, сжимаясь или меняя направление на противоположное?
Когда матрица $A$ умножается на вектор $\mathbf{x}$, результат $A\mathbf{x}$ обычно представляет собой совершенно другой вектор — повёрнутый, сдвинутый или иначе перенаправленный. Но некоторые особые векторы остаются параллельными самим себе: матрица лишь масштабирует их. Это и есть собственные векторы, а коэффициент масштабирования — собственное значение.
Определяющее уравнение
$$A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$$- $A$ — квадратная матрица размера $n \times n$.
- $\mathbf{x}$ — ненулевой вектор — собственный вектор.
- $\lambda$ — скаляр — собственное значение.
Почему нулевой вектор исключается?
Нулевой вектор $\mathbf{0}$ удовлетворяет равенству $A\mathbf{0} = \lambda\mathbf{0}$ для любого скаляра $\lambda$ и любой матрицы $A$. Он ничего не говорит нам о матрице — он «ничего не подтверждает». Именно поэтому определение требует $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$.
Но ноль как собственное значение допускается!
| Понятие | Статус | Смысл |
|---|---|---|
| $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ (нулевой вектор) | Исключён | Тривиально удовлетворяет всему; не даёт никакой информации. |
| $\lambda = 0$ (нулевой скаляр) | Допускается и имеет смысл | Означает $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$: матрица отправляет некоторые ненулевые векторы в ноль. Эти векторы лежат в ядре (нуль-пространстве) матрицы $A$. |
Если $\lambda = 0$ является собственным значением, то $A$ — вырожденная (необратимая) матрица, поскольку она отображает некоторые ненулевые векторы в ноль.