Квадратичные формы
От многочлена к матрице и обратно — собственные значения, главные оси, знакоопределённость и геометрия поверхностей второго порядка
1. Что такое квадратичная форма?
1.1 Объект изучения
Квадратичная форма — это однородный многочлен второй степени от нескольких переменных. «Однородный» означает, что каждый член имеет суммарную степень ровно 2 — линейных членов и свободного члена нет.
$$ Q(x_1,x_2) = 3x_1^2 - 4x_1 x_2 + 5x_2^2 $$ $$ Q(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 - 6x_1 x_2 + 4x_1 x_3 - 2x_2 x_3 $$
Вы уже встречали такие выражения как чисто квадратичные части уравнений конических сечений. Например, в уравнении $3x^2 - 4xy + 5y^2 + 2x - 7y + 1 = 0$ содержится квадратичная форма $3x^2 - 4xy + 5y^2$. Изучение этой квадратичной части позволяет определить, является ли коника эллипсом, гиперболой или параболой.
1.2 Матричное представление — ритуал заполнения
Любую квадратичную форму можно записать компактно:
$$ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A\, \mathbf{x} $$где $A$ — симметричная матрица размера $n \times n$, а $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$.
- Коэффициент при $x_i^2$ записывается на диагональ — в позицию $a_{ii}$.
- Коэффициент при перекрёстном члене $x_i x_j$ (при $i \neq j$) делится пополам: $\frac{\text{коэффициент}}{2}$ ставится в позицию $(i,j)$ и в позицию $(j,i)$.
Это гарантирует $A = A^T$ (симметричность). Деление пополам — это ритуал заполнения, который нельзя пропускать.
Почему именно симметричная? Любая матрица $B$ даёт ту же квадратичную форму, что и её симметричная часть $A = \frac{B + B^T}{2}$, потому что $\mathbf{x}^T B \mathbf{x} = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$. Поэтому мы всегда используем симметричного представителя — вся теория (собственные значения, спектральная теорема, знакоопределённость) опирается на симметричность.
1.3 Многочлен → Матрица (две переменные)
Дана $Q(x_1,x_2) = ax_1^2 + bx_1 x_2 + cx_2^2$, тогда матрица:
$$ A = \begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix} $$Конкретный пример: $Q = 5x_1^2 - 6x_1 x_2 + 2x_2^2$
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} $$Проверка: $\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 5x_1^2 - 3x_1 x_2 - 3x_2 x_1 + 2x_2^2 = 5x_1^2 - 6x_1 x_2 + 2x_2^2$. ✓
1.4 Матрица → Многочлен (три переменные)
Дана $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}$, считываем:
- Диагональные элементы дают квадраты: $1 \cdot x_1^2 + 4 \cdot x_2^2 + (-1) \cdot x_3^2$
- Внедиагональный элемент $a_{12} = -2$ даёт коэффициент перекрёстного члена $2 \times (-2) = -4$ при $x_1 x_2$
- $a_{13} = 3$ даёт $2 \times 3 = 6$ при $x_1 x_3$
- $a_{23} = 0$ даёт $0$ при $x_2 x_3$