1. Концепция до формулы: обновление вероятности при получении частичной информации
Основная идея: Когда вы узнаёте, что некоторое событие произошло, вы отбрасываете все исходы, которые противоречат этой информации. Пространство элементарных исходов сужается до известного события, и вы заново подсчитываете благоприятные исходы внутри этого уменьшенного пространства.
Прежде чем записывать какую-либо формулу, давайте построим идею с нуля на трёх конкретных примерах.
Пример с подсчётом A — Бросок кубика с раскрытой чётностью
Бросаем правильный шестигранный кубик. Полное пространство элементарных исходов — $S = \{1,2,3,4,5,6\}$, каждый исход равновероятен (вероятность $\tfrac{1}{6}$).
Вопрос: Какова вероятность того, что результат не больше 3, при условии, что результат нечётный?
- Определим $A = \{1,2,3\}$ (результат не больше 3) и $B = \{1,3,5\}$ (результат нечётный).
- Как только вы узнали, что результат нечётный, все чётные исходы ($2, 4, 6$) становятся невозможными. Пространство элементарных исходов сужается с $\{1,2,3,4,5,6\}$ до $\{1,3,5\}$.
- Внутри этого уменьшенного пространства какие исходы также принадлежат $A$? Это $\{1,3\}$ — два из трёх равновероятных исходов.
$$P(A \mid B) = \frac{\text{благоприятные исходы в уменьшенном пространстве}}{\text{все исходы в уменьшенном пространстве}} = \frac{2}{3}$$
Без этой информации $P(A) = \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$. Частичная информация изменила вероятность с $\tfrac{1}{2}$ до $\tfrac{2}{3}$.
Пример с подсчётом B — Вытягивание карты с раскрытой мастью
Вытягиваем одну карту из стандартной колоды в 52 карты.