1. Обратный вопрос: от функций к рядам
Главная идея: В предыдущей теме мы начинали со степенного ряда и спрашивали: «Какую функцию он представляет?» Теперь мы переворачиваем вопрос: дана функция $f$ — можно ли построить степенной ряд, равный ей?
1.1 Вывод формулы для коэффициентов
Предположим, что функция $f(x)$ действительно имеет представление в виде степенного ряда с центром в точке $x = a$:
$$ f(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + c_3(x-a)^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n $$Мы хотим выяснить, чему должны быть равны коэффициенты $c_n$. Стратегия удивительно проста: многократно дифференцируем и подставляем $x = a$.
Шаг 0 — Подставим $x = a$:
$$ f(a) = c_0 + 0 + 0 + \cdots \implies c_0 = f(a) $$Шаг 1 — Продифференцируем один раз, затем подставим $x = a$:
$$ f'(x) = c_1 + 2c_2(x-a) + 3c_3(x-a)^2 + \cdots $$ $$ f'(a) = c_1 \implies c_1 = f'(a) $$Шаг 2 — Продифференцируем дважды:
$$ f''(x) = 2c_2 + 3 \cdot 2 \, c_3(x-a) + 4 \cdot 3 \, c_4(x-a)^2 + \cdots $$ $$ f''(a) = 2c_2 \implies c_2 = \frac{f''(a)}{2!} $$Шаг $n$ — Продифференцируем $n$ раз:
$$ f^{(n)}(a) = n! \, c_n \implies \boxed{c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}} $$
Ключевое наблюдение (следствие единственности): Ранее мы доказали, что представление в виде степенного ряда, если оно существует, единственно. Следовательно, коэффициенты однозначно определяются самой функцией — они выводятся, а не назначаются.
1.2 Определение ряда Тейлора
Определение — Ряд Тейлора
Если $f$ имеет производные всех порядков в точке $x = a$, то ряд Тейлора функции $f$ с центром в точке $a$ имеет вид: