Пределы и непрерывность функций нескольких переменных
От интуиции одной переменной к богатому миру многомерного анализа
Обновлённое определение: от интервалов к кругам
Вспомним: определение для одной переменной
В анализе одной переменной мы говорим, что $\lim_{x \to a} f(x) = L$, если для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что:
$$ 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon $$Условие $0 < |x - a| < \delta$ описывает проколотый интервал — множество точек, находящихся на расстоянии менее $\delta$ от $a$, за исключением самой точки $a$. К точке $a$ можно подойти только с двух сторон: слева и справа.
Обновление: две переменные
Для функции $f(x,y)$ мы говорим, что $\displaystyle\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y) = L$, если для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что:
$$ 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \implies |f(x,y) - L| < \varepsilon $$🔑 Единственное структурное изменение
Проколотый интервал $0 < |x - a| < \delta$ на числовой прямой заменяется проколотым открытым кругом (проколотой окрестностью) радиуса $\delta$ с центром в точке $(x_0, y_0)$ на плоскости. Расстояние теперь измеряется с помощью евклидова расстояния $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$. Всё остальное — логическая структура, роль $\varepsilon$ и $\delta$ — остаётся без изменений.
⚠️ Обязательное требование
Предел $L$ должен быть единственным числом, которое работает для всех способов приближения к точке $(x_0, y_0)$. Он не должен зависеть от направления, пути или любого другого аспекта того, как $(x,y)$ приближается к этой точке. В этом суть определения.
Визуализация проколотой окрестности
Одна переменная: проколотый интервал
Две переменные: проколотый круг