Дифференцируемость — Разбираем определение
Вспомним: Предшественник из одномерного анализа
В анализе функций одной переменной производная $f'(a)$ — это число, которое позволяет аккуратно разложить приращение:
$$ \Delta y = f(a+\Delta x)-f(a) = f'(a)\,\Delta x + \varepsilon\,\Delta x, \qquad \varepsilon \to 0 \text{ as } \Delta x \to 0. $$Линейная часть $f'(a)\,\Delta x$ — это наилучшее линейное приближение; остаток $\varepsilon\,\Delta x$ стремится к нулю быстрее, чем сам $|\Delta x|$. Именно эту схему мы теперь обобщаем на две переменные.
Определение — Дифференцируемость в точке $(x_0,y_0)$
Пусть $z = f(x,y)$ определена на открытом множестве, содержащем точку $(x_0,y_0)$, и пусть частные производные $f_x(x_0,y_0)$ и $f_y(x_0,y_0)$ существуют. Запишем полное приращение:
$$ \Delta z = f(x_0+\Delta x,\, y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0). $$Говорят, что $f$ дифференцируема в точке $(x_0,y_0)$, если
$$ \Delta z = \underbrace{f_x(x_0,y_0)\,\Delta x + f_y(x_0,y_0)\,\Delta y}_{\text{линейная часть}} \;+\; \underbrace{E_x\,\Delta x + E_y\,\Delta y}_{\text{остаток}}, $$где $E_x \to 0$ и $E_y \to 0$ при $(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)$.
Что играет роль производной? В одномерном случае производная — это одно число $f'(a)$. Здесь эту роль играет пара $(f_x, f_y)$, вычисленная в данной точке — это коэффициенты линейной части, и они однозначно определяются условием дифференцируемости.
Что означает «малость остатка»? Слагаемые ошибки $E_x$ и $E_y$ должны стремиться к нулю при $\|(\Delta x,\Delta y)\| \to 0$. Эквивалентно, остаток $R = \Delta z - f_x\,\Delta x - f_y\,\Delta y$ удовлетворяет условию
$$ \frac{|R|}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} \;\longrightarrow\; 0 \quad \text{as } (\Delta x,\Delta y)\to(0,0). $$
Остаток стремится к нулю