1. Коронованный вектор: определение и обозначения
Определение — Вектор градиента
Пусть дана дифференцируемая скалярная функция $f$ двух или трёх переменных. Градиент функции $f$ — это вектор, составленный из всех её частных производных:
$$ \nabla f(x,y) = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\; \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle \qquad \text{(две переменные)} $$ $$ \nabla f(x,y,z) = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\; \frac{\partial f}{\partial y},\; \frac{\partial f}{\partial z} \right\rangle \qquad \text{(три переменные)} $$Символ $\nabla$ называется набла (или дель). Читается вслух как «набла $f$» или «дель $f$». Название набла происходит от формы древнеегипетской/ассирийской арфы.
Значение в точке и векторное поле
Существуют два взаимодополняющих способа понимания градиента:
- В отдельной точке: $\nabla f(a,b)$ — это конкретный вектор, единственная стрелка, начинающаяся в точке $(a,b)$. Он показывает направление и скорость наибыстрейшего возрастания $f$ именно в этой точке.
- По всей области определения (векторное поле): Если вычислить $\nabla f$ в каждой точке области определения, получится стрелка в каждой точке. Эта совокупность стрелок — векторное поле, первое, с которым вы встречаетесь в этом курсе. Предварительный термин: векторные поля — центральные объекты раздела векторного анализа, который ждёт вас впереди (дивергенция, ротор, поток, циркуляция). Градиентное поле — самый мягкий вход в эту тему.
Представьте себе: Вообразите топографическую карту горы. В каждой точке карты нарисуйте стрелку, направленную вверх по склону, длина которой пропорциональна крутизне. Этот «ковёр» из стрелок и есть градиентное поле $\nabla f$.
Интерактивная визуализация — Градиентное векторное поле
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Градиентное поле функции $f(x,y)=x^2+y^2$. Каждая стрелка — это $\nabla f = \langle 2x,2y\rangle$, направленная радиально наружу (вверх по параболоиду). Более длинные стрелки = более крутой склон.