Частные производные высших порядков
Дифференцируем частные производные ещё раз — обозначения, равенство, гессиан и проверка УЧП
1. Систематизация: частные производные второго и высших порядков
1.1 Четыре частные производные второго порядка от двух переменных
Дана функция $f(x,y)$. Каждая частная производная первого порядка ($f_x$ и $f_y$) сама является функцией от $x$ и $y$. Поэтому каждую из них можно продифференцировать ещё раз по любой из переменных. Это даёт нам четыре частные производные второго порядка:
| Название | Индексная запись | Запись Лейбница | Смысл |
|---|---|---|---|
| Чистая (по $x$) | $f_{xx}$ | $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ | Дифференцируем по $x$, затем снова по $x$ |
| Смешанная | $f_{xy}$ | $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ | Сначала дифференцируем по $x$, затем по $y$ |
| Смешанная | $f_{yx}$ | $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}$ | Сначала дифференцируем по $y$, затем по $x$ |
| Чистая (по $y$) | $f_{yy}$ | $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ | Дифференцируем по $y$, затем снова по $y$ |
Ловушка обозначений — прочитайте внимательно!
Две традиции записи читают порядок дифференцирования в противоположных направлениях:
- Индексная запись читается слева → направо: $f_{xy}$ означает «сначала дифференцируем по $x$, затем по $y$».
- Запись Лейбница читается справа → налево (из знаменателя): $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ означает «сначала дифференцируем по $x$ (правый), затем по $y$ (левый)».