1. Объект изучения: отображения плоскости в плоскость

1.1 Что такое отображение?

До сих пор вы изучали функции, которые принимают один или несколько аргументов и дают одно значение — например, $f(x,y) = x^2 + y^2$. Теперь мы обобщаем: отображение (или преобразование) принимает пару входных значений и выдаёт пару выходных значений:

Это функция $\mathbf{F}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$. В трёхмерном пространстве та же идея даёт $\mathbf{F}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$. Функция с одним выходным значением, которую вы уже знаете, — это частный случай $m = 1$: у отображения всего одна строка.

1.2 Основной пример 1 — полярные координаты

Преобразование из полярных координат $(r,\theta)$ в декартовы координаты $(x,y)$ имеет вид:

Это отображение $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$: два входа $(r,\theta)$, два выхода $(x,y)$. Оно будет нашим главным разобранным примером на протяжении всего урока.

1.3 Основной пример 2 — линейные отображения (матричный случай)

Линейное отображение — это отображение вида

где $A$ — постоянная матрица. Например, при $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$:

Вспомните из линейной алгебры, что матрица и есть линейное преобразование. Именно эту нить мы сейчас подхватываем: якобиан свяжет все гладкие отображения с миром матриц.