1. Обобщение вопроса — бесконечно много направлений
Напоминание — Частные производные как два координатных сечения
Когда мы изучали частные производные, мы научились измерять скорость изменения $f(x,y)$ ровно в двух направлениях: вдоль оси $x$ (при фиксированном $y$) и вдоль оси $y$ (при фиксированном $x$). Эти два координатных сечения дали нам $f_x$ и $f_y$. Но стоя в точке на поверхности, вы можете идти в бесконечно многих направлениях — не только на восток или на север, но и на северо-восток, юго-юго-запад или по любому выбранному азимуту. Частные производные — это лишь два пути из бесконечного множества.
Производная по направлению отвечает на естественный следующий вопрос: какова скорость изменения $f$ вдоль произвольного направления?
Направление как единичный вектор — непреложное правило
Направление на плоскости (или в пространстве) задаётся вектором. Но нам нужен единичный вектор $\mathbf{u}$ — вектор длины 1. Почему?
Для любого ненулевого вектора $\mathbf{v}$ соответствующий единичный вектор равен:
$$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}$$