1. Определение тройного интеграла
Вы уже дважды видели эту конструкцию. Для обычного (однократного) интеграла мы разбивали отрезок на части, выбирали точки, суммировали и переходили к пределу. Для двойного интеграла мы разбивали плоскую область на маленькие прямоугольники (ячейки), выбирали точки, суммировали и переходили к пределу. Тройной интеграл повторяет ту же схему с ещё одним измерением: мы разбиваем тело на маленькие трёхмерные ячейки (крошечные параллелепипеды), вычисляем значение функции в пробной точке внутри каждой ячейки, суммируем и переходим к пределу при стремлении размеров ячеек к нулю. Ничего принципиально нового — просто на одно измерение больше.
Формально: пусть $f(x,y,z)$ непрерывна на параллелепипеде $B = [a,b]\times[c,d]\times[p,q]$. Разобьём каждый отрезок на части шириной $\Delta x_i$, $\Delta y_j$, $\Delta z_k$, образуя подъячейки объёмом $\Delta V = \Delta x_i\,\Delta y_j\,\Delta z_k$. Выберем пробную точку $(x_{ijk}^*,\,y_{ijk}^*,\,z_{ijk}^*)$ в каждой подъячейке. Тогда:
$$\iiint_B f(x,y,z)\,dV = \lim_{m,n,\ell\to\infty} \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{\ell} f(x_{ijk}^*,\,y_{ijk}^*,\,z_{ijk}^*)\,\Delta V$$Определение естественно распространяется на непрямоугольные области $S$: достаточно заключить $S$ в параллелепипед и положить $f=0$ вне $S$.
- Масса по объёмной плотности. Если $f(x,y,z) = \rho(x,y,z)$ — плотность массы (масса на единицу объёма), то $\iiint_S \rho\,dV$ даёт полную массу тела $S$. Это главная физическая интерпретация.
- Объём тела. Положим $f(x,y,z) = 1$. Тогда $\iiint_S 1\,dV = \text{Объём}(S)$. Постоянная функция $1$ — рабочая лошадка этой темы: она превращает тройной интеграл в вычислитель объёма.
- Почему не «объём под поверхностью»? Двойной интеграл $\iint_R f(x,y)\,dA$ можно трактовать как объём под поверхностью $z=f(x,y)$. Для тройного интеграла аналогичная трактовка потребовала бы четвёртого пространственного измерения — а его у нас, увы, нет. Картинки «объём под гиперповерхностью» в нашем распоряжении не существует.