1. Объект: Масса изогнутой проволоки
Напоминание — механизм «от плотности к общему»: Вы уже встречали рецепт разбиения в курсе анализа одной переменной: разрезать отрезок на маленькие кусочки, умножить плотность на малую длину, просуммировать и перейти к пределу. Теперь мы запускаем тот же самый механизм на кривой, а не на прямолинейном отрезке.
1.1 Физическая картина
Представьте тонкую проволоку, изогнутую в виде кривой $C$ в пространстве. В каждой точке $(x,y,z)$ проволоки задана линейная плотность (масса на единицу длины) $\rho(x,y,z)$. Как найти полную массу?
- Разрежем проволоку на $n$ маленьких дуг длиной $\Delta s_i$.
- На каждой дуге выберем пробную точку $P_i^*$ и считаем плотность $\rho(P_i^*)$.
- Умножим: масса $i$-го кусочка $\approx \rho(P_i^*)\,\Delta s_i$.
- Просуммируем: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\rho(P_i^*)\,\Delta s_i$.
- Предел: устремим $n\to\infty$ (все $\Delta s_i\to 0$).
Определение — Криволинейный интеграл первого рода
$$\int_C f(x,y,z)\,ds \;=\; \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(P_i^*)\,\Delta s_i$$
Мера интегрирования — элемент длины дуги $ds$. Подынтегральная функция $f$ — это скалярная функция, вычисляемая на кривой.
1.2 Сводка применений
| Физическая / геометрическая величина | Подынтегральная функция $f$ | Интеграл |
|---|---|---|
| Полная масса проволоки | $\rho(x,y,z)$ (линейная плотность) | $m = \displaystyle\int_C \rho\,ds$ |
| Полный заряд нити | $\lambda(x,y,z)$ (линейная плотность заряда) | $Q = \displaystyle\int_C \lambda\,ds$ |
| Средняя температура вдоль пути | $T(x,y,z)$ | $\bar{T} = \dfrac{1}{L}\displaystyle\int_C T\,ds$ |
| Длина дуги как таковая | $f \equiv 1$ | $L = \displaystyle\int_C 1\,ds$ |
Напоминание о тождественном шаблоне (третье появление): Подстановка $f=1$ в любой интеграл по мере даёт меру области. Для длины дуги: $\int_C 1\,ds = \text{длина}(C)$. Вы уже видели тот же шаблон: $\int_a^b 1\,dx = b-a$ и $\iint_D 1\,dA = \text{Площадь}(D)$.