1. Мост объявлен — два мира интегралов соединяются
Пусть $D$ — область в $\mathbb{R}^2$, граница которой $C$ является положительно ориентированной, кусочно-гладкой, простой замкнутой кривой. Пусть $\mathbf{F}(x,y)=\langle P(x,y),\,Q(x,y)\rangle$ — векторное поле, компоненты которого $P$ и $Q$ имеют непрерывные частные производные первого порядка в открытой области, содержащей $D$. Тогда
$$ \oint_{C} P\,dx + Q\,dy \;=\; \iint_{D}\!\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA. $$Разбираем условия
Положительная ориентация
«Положительно ориентированная» означает против часовой стрелки. Правило: когда вы идёте вдоль $C$ в направлении обхода, ограниченная область $D$ всегда находится слева от вас. Вспомните стандартную единичную окружность — углы возрастают против часовой стрелки, а внутренняя область находится слева.
Подынтегральное выражение
Подынтегральное выражение в правой части — это разность перекрёстных производных: $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$. Это двумерный скалярный ротор поля $\mathbf{F}$. Порядок важен: сначала $Q_x$, затем минус $P_y$.