1. Вопрос, который ставит циркуляция: насколько сильно поле «закручивается» в данной точке?
Напомним: циркуляция
В предыдущей теме вы узнали, что циркуляция векторного поля $\mathbf{F}$ вдоль замкнутой кривой $C$ — это криволинейный интеграл
$$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.$$Циркуляция показывает суммарный «толчок», который поле сообщает частице, совершающей один обход по контуру. Но это глобальная величина — она зависит от размера и формы контура. Естественный следующий вопрос:
«Насколько сильно поле закручивается в одной точке?»
1.1 Предельное определение — циркуляция на единицу площади
Чтобы выделить локальное вращение в точке $\mathbf{a}$, мы стягиваем контур к этой точке и делим на охватываемую площадь. Выберем единичное нормальное направление $\hat{\mathbf{n}}$ и маленький ориентированный контур $C$, охватывающий площадь $A(C)$ в плоскости, перпендикулярной $\hat{\mathbf{n}}$. Тогда компонента ротора $\mathbf{F}$ в направлении $\hat{\mathbf{n}}$ определяется пределом:
$$\bigl(\nabla\times\mathbf{F}(\mathbf{a})\bigr)\cdot\hat{\mathbf{n}} \;=\; \lim_{A(C)\to 0}\frac{1}{A(C)}\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.$$Это плотность циркуляции — циркуляция на единицу площади при стягивании контура в точку. Полный вектор ротора получается вычислением этого предела для трёх независимых нормальных направлений ($\hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}$).