1. Когда путь не имеет значения — Консервативное поле
Ответ на главный вопрос: На протяжении всего этого блока мы задавали вопрос: «Когда можно не обращать внимания на путь и заботиться только о конечных точках?» Ответ — консервативное векторное поле — поле, для которого криволинейный интеграл зависит только от того, где вы начали и где закончили.
Определение
Векторное поле $\mathbf{F}$ называется консервативным (или потенциальным полем), если существует скалярная функция $f$ — называемая потенциальной функцией (или просто потенциалом) — такая, что
$$ \mathbf{F} = \nabla f. $$Градиент — самый первый оператор этого блока — возвращается здесь как ответ: консервативное поле — это не что иное, как градиент.
Четыре эквивалентности
Для векторного поля $\mathbf{F}$ с непрерывными частными производными первого порядка на односвязной области следующие утверждения все эквивалентны:
| # | Утверждение | Интуитивное прочтение |
|---|---|---|
| (i) | $\mathbf{F} = \nabla f$ для некоторой скалярной функции $f$ | Поле является градиентом — потенциал существует. |
| (ii) | $\displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ не зависит от пути | Важны только конечные точки; маршрут не имеет значения. |
| (iii) | $\displaystyle\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0$ для любой замкнутой кривой $C$ | Нет суммарной работы по любому замкнутому контуру — циркуляция всюду равна нулю. |
| (iv) | $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$ (ротор равен нулю) | Дифференциальный тест — нигде нет локального вращения. |
Ключевое тождество — Первая стена
Почему из (i) следует (iv)? Благодаря тождеству
$$ \nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0} $$