1. Как распознать ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными
Определение
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде
$$\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y)$$То есть правая часть представляет собой произведение функции, зависящей только от $x$, и функции, зависящей только от $y$.
Искусство распознавания — Галерея маскировок
Разделяемость не всегда очевидна. Иногда нужно сначала разложить на множители — именно здесь пригодятся ваши навыки алгебры.
| Исходная форма | Алгебраический шаг | Разделённая форма $g(x)\cdot h(y)$ |
|---|---|---|
| $\dfrac{dy}{dx}=x^2+x^2 y^2$ | Вынести $x^2$ за скобку | $x^2(1+y^2)$ |
| $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{xy+2x}{y-1}$ | Разложить числитель: $x(y+2)$ | $x\cdot\dfrac{y+2}{y-1}$ |
| $\dfrac{dy}{dx}=e^{x+y}$ | Свойство показателя: $e^{x+y}=e^x e^y$ | $e^x\cdot e^y$ |
| $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{6x^2}{2y+\cos y}$ | Уже разделено | $6x^2\cdot\dfrac{1}{2y+\cos y}$ |
| $\dfrac{dy}{dx}=x+y$ | Нельзя представить как произведение | НЕ разделяется |
⚠ Вспоминаем алгебру: Приёмы разложения на множители, которые вы отрабатывали — вынесение общего множителя, свойства степеней, группировка — это именно те инструменты, которые позволяют обнаружить разделяемость. Без них маскировка не раскрывается.
2. Метод — Разделить, проинтегрировать, решить
Механизм — честное изложение
Начиная с $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$, мы «разгоняем» каждую переменную на свою сторону вместе с её дифференциалом:
$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$$Затем интегрируем обе части независимо:
$$\int \frac{1}{h(y)}\,dy = \int g(x)\,dx$$