Линейные уравнения первого порядка: метод вариации постоянной
Осваиваем два лица одного и того же мощного метода — и структуру, стоящую за каждым линейным ОДУ первого порядка
1. Определение класса — что делает ОДУ «линейным»?
Стандартная форма
Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка называется линейным, если его можно записать в стандартной форме:
Здесь слово «линейное» относится к тому, как неизвестная $y$ и её производная $y'$ входят в уравнение: каждая из них присутствует не выше первой степени, они никогда не перемножаются между собой и никогда не стоят внутри нелинейной функции вроде $\sin(y)$ или $e^y$. Коэффициент $P(x)$ и правая часть (вынуждающая функция) $Q(x)$ могут быть любыми функциями независимой переменной $x$.
- $P(x)$ — коэффициент при неизвестной.
- $Q(x)$ — вынуждающий член (или правая часть). Он «уводит» уравнение от нуля.
- Когда мы дойдём до линейных уравнений второго порядка, тот же словарь появится снова, но с дополнительным членом с производной — всё, что вы изучите здесь, переносится напрямую.
Нормировка старшего коэффициента
Если уравнение дано в виде
$$ a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x), $$мы делим каждый член на $a_1(x)$ (при условии $a_1(x)\neq 0$), чтобы привести уравнение к стандартной форме, где коэффициент при производной равен 1:
$$ y' + \underbrace{\frac{a_0(x)}{a_1(x)}}_{P(x)}\,y = \underbrace{\frac{g(x)}{a_1(x)}}_{Q(x)}. $$