Что такое система линейных ОДУ первого порядка?

Система линейных ОДУ первого порядка связывает несколько неизвестных функций $x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t)$ так, что каждая производная $x_i'$ линейно зависит от всех неизвестных. В простейшем случае (с постоянными коэффициентами, однородная) система выглядит так:

$$x_1' = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n$$$$x_2' = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n$$$$\vdots$$$$x_n' = a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n$$

Теперь облачим это в матричную форму. Определим вектор неизвестных и матрицу коэффициентов:

$$\mathbf{x}(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{pmatrix}, \qquad A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$$

Тогда вся система сворачивается в компактную запись:

$$\boxed{\mathbf{x}' = A\mathbf{x}}$$

Это отправная точка: все инструменты линейной алгебры — собственные значения, собственные векторы, определители, диагонализация — теперь напрямую применяются к решению дифференциальных уравнений.