1. Преобразование Лапласа — Определение и сходимость
Главная идея: Преобразование Лапласа превращает функцию времени $f(t)$ в функцию комплексной переменной $s$, умножая $f(t)$ на убывающую экспоненту $e^{-st}$ и интегрируя по всем $t \ge 0$. Выигрыш: дифференцирование превращается в умножение — задачи из математического анализа становятся задачами алгебры.
1.1 Формальное определение
Пусть $f(t)$ определена при $t \ge 0$. Её преобразование Лапласа — это
$$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st}\, f(t)\, dt$$для тех значений $s$, при которых несобственный интеграл сходится.
Это несобственный интеграл — верхний предел равен $\infty$. Мы понимаем его как предел:
$$F(s) = \lim_{N \to \infty} \int_0^{N} e^{-st}\, f(t)\, dt$$Интеграл может сходиться для одних значений $s$ и расходиться для других.
1.2 Условие роста — Экспоненциальный порядок
Функция $f(t)$ имеет экспоненциальный порядок $\alpha$, если существуют константы $M > 0$ и $T > 0$ такие, что
$$|f(t)| \le M\, e^{\alpha t} \quad \text{for all } t > T$$Если $f(t)$ кусочно-непрерывна на $[0, \infty)$ и имеет экспоненциальный порядок $\alpha$, то $\mathcal{L}\{f(t)\}$ существует для всех $s > \alpha$.
Пример, когда условие не выполняется: Функция $f(t) = e^{t^2}$ не имеет экспоненциального порядка — она растёт быстрее любой $e^{\alpha t}$. Её преобразование Лапласа не существует ни при каком $s$.