1. Предел, открывающий непрерывность: период, растянутый до бесконечности
Напоминание — отправная точка: ряд Фурье
Вспомним из блока о рядах Фурье: периодическую функцию $\tilde{x}(t)$ с периодом $T$ можно записать как сумму гармоник на частотах $\omega_k = k\omega_0$, где $\omega_0 = 2\pi/T$ — основная частота. Ряд Фурье имеет вид:
$$ \tilde{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\, e^{ik\omega_0 t}, \qquad c_k = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} \tilde{x}(t)\,e^{-ik\omega_0 t}\,dt $$Каждый коэффициент $c_k$ соответствует дискретной частоте $\omega_k = k\omega_0$. Спектр является линейчатым — набором изолированных пиков.
1.1 Гармоники сливаются в непрерывный спектр
Зададимся вопросом: что произойдёт, если период $T$ будет расти без ограничений?
- Основная частота $\omega_0 = 2\pi/T$ стремится к нулю.
- Расстояние между соседними гармониками $\Delta\omega = \omega_0 = 2\pi/T$ становится бесконечно малым.
- Дискретные спектральные линии сближаются, пока не сливаются в непрерывную плотность.
Честная картина: Изолированные линии дискретного спектра не исчезают — они сливаются в непрерывную кривую. Высота каждой линии $c_k$ уменьшается (и должна, ведь линий становится всё больше), но произведение $c_k \cdot T$ стремится к определённой функции непрерывной переменной $\omega$. Эта функция и есть преобразование Фурье.
1.2 Набросок вывода (мотивация, а не доказательство)
Определим $\hat{f}(\omega_k) = T\,c_k = \displaystyle\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\,e^{-i\omega_k t}\,dt$. Тогда формула восстановления принимает вид: