Дивергенция векторного поля
Главная идея: дивергенция измеряет, сколько векторного поля «вытекает» из точки, в расчёте на единицу объёма, прямо в этой точке. Она превращает глобальное понятие потока — сколько течения пересекает целую замкнутую поверхность — в чисто локальное число, привязанное к одной точке.
- Честно сформулировать предельное определение дивергенции как потока на единицу объёма при стягивании поверхности.
- Вывести координатную формулу на маленьком «кубике», пара граней за парой.
- Свободно читать $\nabla\cdot\mathbf F$ и вычислять её в галерее полей.
- Переводить число в источники, стоки и несжимаемое течение.
- Пользоваться линейностью, правилом произведения, узнавать лапласиан как $\nabla\cdot\nabla f$.
- Заранее увидеть уравнение неразрывности и теорему о дивергенции как следующий шаг.
Поток отвечает на вопрос «сколько $\mathbf F$ пересекает всю эту замкнутую поверхность?». Дивергенция задаёт тот же вопрос в одной точке: стяните замкнутую поверхность вокруг этой точки и спросите, сколько потока «убегает» в расчёте на единицу заключённого объёма. Это отношение, в пределе, и есть дивергенция:
$$\operatorname{div}\mathbf F(p) = \lim_{V\to\{p\}} \frac{1}{|V|}\oiint_{S=\partial V} \mathbf F\cdot d\mathbf S$$
Это предельное определение — честное лицо понятия; всё остальное, включая координатную формулу ниже, — лишь вычислительное сокращение для того же самого числа.