Математическая логика: Высказывания и логические операции
1. Логика высказываний и утверждения
Высказывание (или утверждение) — это повествовательное предложение, которое является либо истинным, либо ложным, но не одновременно. Высказывания составляют основу математической логики и рассуждений.
Определение: Высказывание p — это утверждение, которое имеет ровно одно значение истинности: либо Истина (И, 1), либо Ложь (Л, 0).
Примеры высказываний:
- «5 — простое число» (Истина)
- «2 + 2 = 5» (Ложь)
- «Для всех действительных чисел x, x² ≥ 0» (Истина)
Не высказывания (не утверждения):
- «Идёт ли дождь?» (вопрос)
- «Закрой дверь!» (команда)
- «x + 3 = 7» (открытое предложение, истинность зависит от x)
2. Основные логические операции
Отрицание (¬, ~)
Отрицание высказывания p, обозначаемое ¬p или ~p, имеет противоположное значение истинности по отношению к p.
| p | ¬p |
|---|---|
| И | Л |
| Л | И |
Конъюнкция (∧)
Конъюнкция p ∧ q («p И q») истинна только тогда, когда оба высказывания p и q истинны.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
| Л | Л | Л |
Дизъюнкция (∨)
Дизъюнкция p ∨ q («p ИЛИ q») истинна, когда хотя бы одно из высказываний p или q истинно.
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| И | И | И |
| И | Л | И |
| Л | И | И |
| Л | Л | Л |
