Натуралдык сандар жана бүтүн сандар
1. Натуралдык сандар деген эмне?
Натуралдык сандар (саноо сандары деп да аталат) — математикадагы эң негизги сандардын жыйындысы. Булар биз буюмдарды санаганда колдонгон сандар.
Расмий аныктама: Натуралдык сандардын жыйындысы $\mathbb{N}$ символу менен белгиленет жана төмөнкүчө аныкталат: $$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \ldots\}$$
Эскертүү: Кээ бир математиктер $0$ санын натуралдык сандарга кошуп, $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ деп жазышат. Бул курста биз натуралдык сандарды $1$ ден баштайбыз, эгерде башкача айтылбаса.
Натуралдык сандардын негизги касиеттери:
| Касиет | Сүрөттөмө | Мисал |
|---|---|---|
| Кошуу боюнча жабыктык | Эки натуралдык санды кошкондо дайыма натуралдык сан чыгат | $3 + 5 = 8 \in \mathbb{N}$ |
| Көбөйтүү боюнча жабыктык | Эки натуралдык санды көбөйткөндө дайыма натуралдык сан чыгат | $4 \times 7 = 28 \in \mathbb{N}$ |
| Кемитүү боюнча жабык ЭМЕС | Натуралдык сандарды кемиткенде натуралдык сан чыкпай калышы мүмкүн | $3 - 5 = -2 \notin \mathbb{N}$ |
| Жакшы иреттелген | Ар бир бош эмес чакан жыйындынын эң кичине элементи бар | Эң кичине натуралдык сан — $1$ |
2. Бүтүн сандар деген эмне?
Бүтүн сандар натуралдык сандарды нөл жана терс бүтүн сандарды кошуу менен кеңейтет. Бул кеңейтүү $x + 5 = 3$ сыяктуу теңдемелерди чечүү үчүн зарыл болгон.
Расмий аныктама: Бүтүн сандардын жыйындысы $\mathbb{Z}$ символу менен белгиленет (немисче Zahlen — "сандар" деген сөздөн) жана төмөнкүчө аныкталат: $$\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$$
Бүтүн сандардын үч чакан жыйындысы:
Терс бүтүн сандар
$\mathbb{Z}^- = \{\ldots, -3, -2, -1\}$
Нөлдөн кичине сандар
Нөл
$\{0\}$
Оң да, терс да эмес
Оң бүтүн сандар
$\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \ldots\}$
Натуралдык сандар менен бирдей
Бүтүн сандардын касиеттери:
| Касиет | Кошуу | Көбөйтүү |
|---|---|---|
| Жабыктык | $a + b \in \mathbb{Z}$ | $a \times b \in \mathbb{Z}$ |
| Алмаштыруу | $a + b = b + a$ | $a \times b = b \times a$ |
| Топтоо | $(a+b)+c = a+(b+c)$ | $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ |
| Бирдик элемент | $a + 0 = a$ | $a \times 1 = a$ |
| Тескери элемент | $a + (-a) = 0$ | $\mathbb{Z}$ да дайыма эмес |
| Бөлүштүрүү | $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ | |