Жөнөкөй жана Курама Сандар
Негизги Аныктамалар
Жөнөкөй Сан
Жөнөкөй сан — бул 1ден чоң натуралдык сан, анын так эки гана оң бөлүүчүсү бар: 1 жана өзү.
Формалдуу түрдө: $p > 1$ жөнөкөй сан болот, эгерде жана эгерде гана бардык $a, b \in \mathbb{N}$ үчүн, $p = a \cdot b$ болсо $a = 1$ же $b = 1$ болот.
Курама Сан
Курама сан — бул 1ден чоң натуралдык сан, анын экиден көп оң бөлүүчүсү бар. Башкача айтканда, аны эки кичине натуралдык сандын көбөйтүндүсү катары жазууга болот.
Формалдуу түрдө: $n > 1$ курама сан болот, эгерде $1 < a, b < n$ болгон $a, b \in \mathbb{N}$ бар болсо жана $n = a \cdot b$.
Өзгөчө учур: 1 саны жөнөкөй да, курама да эмес. Ал бирдик деп аталат. 2 саны — жалгыз жуп жөнөкөй сан.
🏛️ Теорема: Жөнөкөй Сандардын Чексиздиги (Евклид, ~б.з.ч. 300)
Теорема. Жөнөкөй сандардын жыйындысы чексиз.
Далилдөө (карама-каршылык аркылуу):
- Карама-каршылык үчүн, жөнөкөй сандар чектүү деп кабыл алалы: $p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n$.
- Төмөнкү санды карайлы: $$N = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdots p_n + 1$$
- Эми, $N > 1$, демек $N$ жөнөкөй сан болушу керек же жөнөкөй бөлүүчүсү болушу керек.
- Бирок, $N$ ди биздин тизмедеги каалаган $p_i$ жөнөкөй санга бөлгөндө, калдык 1 болот: $$N \div p_i = (p_1 \cdot p_2 \cdots p_n) / p_i + \frac{1}{p_i}$$ Демек, бардык $i = 1, 2, \ldots, n$ үчүн $p_i \nmid N$.
- Бул $N$ биздин тизмеде жок жаңы жөнөкөй сан, же $N$ нин тизмеде жок жөнөкөй бөлүүчүсү бар дегенди билдирет.
- Эки учурда тең, биз баштапкы тизмеде жок жөнөкөй сан таптык — бул карама-каршылык. ∎