Квадрат тамырларды баалоо жана болжолдоо
1. Квадрат тамыр деген эмне?
$n$ санынын квадрат тамыры — бул $x^2 = n$ болгон $x$ мааниси. Аны $\sqrt{n}$ деп жазабыз.
$\sqrt{1} = 1$, $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$
$\sqrt{16} = 4$, $\sqrt{25} = 5$, $\sqrt{36} = 6$
$\sqrt{49} = 7$, $\sqrt{64} = 8$, $\sqrt{81} = 9$
$\sqrt{100} = 10$, $\sqrt{121} = 11$, $\sqrt{144} = 12$
2. Теорема: Эгерде $a > b > 0$ болсо, анда $\sqrt{a} > \sqrt{b}$
Бул теорема квадрат тамыр функциясы оң сандар үчүн тартипти сактай тургандыгын айтат. Чоңураак маанилер чоңураак натыйжа берет.
Далилдөө (карама-каршылык аркылуу):
$a > b > 0$ деп кабыл алалы. $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ экенин далилдешибиз керек.
1-кадам: $a > 0$ жана $b > 0$ болгондуктан, $\sqrt{a}$ жана $\sqrt{b}$ экөө тең бар жана оң.
2-кадам: $a - b > 0$ экенин билебиз. Көбөйтүүчүлөргө ажыратабыз:
$$a - b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$$
3-кадам: $\sqrt{a} > 0$ жана $\sqrt{b} > 0$ болгондуктан, $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) > 0$ экенин билебиз.
4-кадам: $a - b > 0$ жана $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) > 0$ болгондуктан, төмөнкү туура болушу керек:
$$(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} > 0$$
5-кадам: Демек $\sqrt{a} - \sqrt{b} > 0$, бул $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ дегенди билдирет. $\blacksquare$