Көбөйтүндүнүн, Бөлүндүнүн жана Даражанын Квадрат Тамыры
Бул эмне үчүн маанилүү
Квадрат тамырлар математиканын бардык жеринде кездешет — Пифагор теоремасынан квадраттык теңдемелерге чейин. Квадрат тамырларды камтыган татаал туюнтмаларды жөнөкөйлөтүү үчүн, бизге көбөйтүндүлөрдүн, бөлүндүлөрдүн жана даражалардын тамырларын ажыратууга (же бириктирүүгө) мүмкүндүк берген күчтүү касиеттер керек. Бул сабакта биз үч негизги теореманы далилдеп, аларды колдонууну үйрөнөбүз.
1-Теорема: Көбөйтүндүнүн Квадрат Тамыры
Далилдөө:
Биз $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ — $ ab $ сандын квадрат тамыры экенин көрсөтүшүбүз керек. Аныктама боюнча, $ \sqrt{ab} $ — квадраты $ ab $ ге барабар болгон жалгыз терс эмес сан.
1-кадам: $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \geq 0 $ экенин текшерүү.
$ a \geq 0 $ жана $ b \geq 0 $ болгондуктан, $ \sqrt{a} \geq 0 $ жана $ \sqrt{b} \geq 0 $, демек алардын көбөйтүндүсү $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \geq 0 $. ✓
2-кадам: $ \left(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\right)^2 = ab $ экенин текшерүү.
$$ \left(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \cdot \left(\sqrt{b}\right)^2 = a \cdot b = ab \quad ✓ $$
Корутунду: $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ терс эмес жана анын квадраты $ ab $ ге барабар болгондуктан, квадрат тамырдын аныктамасы боюнча $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $. Далилденди.
Үч же андан көп көбөйтүүчүгө кеңейтүү:
Бул касиет табигый түрдө кеңейет. $ a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0 $ үчүн:
$$ \sqrt{abc} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} $$