Негизги тригонометриялык тождество жана келтирүү формулалары
1. Бирдик тегеректин негизи
Келгиле, бирдик тегеректен баштайлы — бул координаталар башталышында борбору жайгашкан, радиусу 1 болгон тегерек. Бул тегеректеги каалаган чекитти төмөнкүчө жазууга болот:
$P = (\cos\alpha,\; \sin\alpha)$
$P(x, y)$ чекити $x^2 + y^2 = 1$ тегерегинде жаткандыктан, $x = \cos\alpha$ жана $y = \sin\alpha$ деп алмаштырсак, тригонометриядагы эң маанилүү тождествону алабыз.
Интерактивдүү визуализация — толук сабакта жеткиликтүү
Сыдырманы жылдырыңыз — $\alpha$ бурчун өзгөртүү үчүн. Кайсы бурчту тандабаңыз, $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha$ дайыма 1ге барабар экенин байкаңыз!
2. Негизги тригонометриялык тождество
$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
Бул тождество бардык бурчтар $\alpha$ үчүн аткарылат. Аны кээде Пифагор тождествосу деп аташат, анткени ал бирдик тегерекке колдонулган Пифагор теоремасынан түздөн-түз келип чыгат.
Далилдөө:
Бирдик тегеректеги $P$ чекитин карайлы, ал оң $x$-огу менен $\alpha$ бурчун түзөт.
- $P$ чекитинин координаталары $(\cos\alpha,\; \sin\alpha)$.
- Координаталар башталышынан $P$ чекитине чейинки аралык — радиус $r = 1$.
- Аралык формуласы боюнча: $\sqrt{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = 1$
- Эки тарабын квадратка чыгарсак: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ $\blacksquare$
Пайдалуу өзгөртүүлөр:
$\sin^2\alpha$ табуу:
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$$\cos^2\alpha$ табуу:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$Туунду тождестволор (бөлүү аркылуу):
$\cos^2\alpha$ га бөлсөк:
$\tan^2\alpha + 1 = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$$\sin^2\alpha$ га бөлсөк:
$1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$