Билдирүүлөр, Предикаттар жана Кванторлор
Негизги идея: Математикада чындыктарды так билдирүү үчүн бизге так тил керек. Билдирүүлөр, предикаттар жана кванторлор — математикалык логиканын курулуш материалдары, башкача айтканда математиканын грамматикасы.
1. Билдирүүлөр (Пропозициялар)
Билдирүү (же пропозиция) — бул ЧЫНДЫК же ЖАЛГАН болгон, бирок экөө бирдей эмес баяндоочу сүйлөм.
| Сүйлөм | Билдирүүбү? | Чындык мааниси |
|---|---|---|
| $5 + 3 = 8$ | ✅ Ооба | ЧЫНДЫК |
| $7 > 10$ | ✅ Ооба | ЖАЛГАН |
| "Саат канча?" | ❌ Жок | — |
| "Эшикти жап!" | ❌ Жок | — |
| $x + 2 = 5$ | ❌ Азырынча жок* | $x$ке көз каранды |
*Бул ачык сүйлөм — $x$ке маани берилгенде гана билдирүүгө айланат.
2. Предикаттар (Ачык сүйлөмдөр)
Предикат — бул бир же бир нече өзгөрмөлөрдү камтыган сүйлөм, өзгөрмөлөргө конкреттүү маанилер коюлганда билдирүүгө айланат.
Предикатты $P(x)$, $Q(x, y)$ ж.б. түрүндө жазабыз.
Мисал:
$P(x): x + 3 = 7$ болсун
• $P(4): 4 + 3 = 7$ → ЧЫНДЫК
• $P(1): 1 + 3 = 7$ → ЖАЛГАН
• $P(0): 0 + 3 = 7$ → ЖАЛГАН
$P(x): x + 3 = 7$ болсун
• $P(4): 4 + 3 = 7$ → ЧЫНДЫК
• $P(1): 1 + 3 = 7$ → ЖАЛГАН
• $P(0): 0 + 3 = 7$ → ЖАЛГАН
$P(x)$тин чындык жыйындысы — $P(x)$ти чындык кылган бардык маанилердин жыйындысы:
$$\{x \in U : P(x) \text{ чындык}\}$$
мында $U$ — универсалдуу жыйынды (аныктоо аймагы).