Арифметикалык прогрессиянын биринчи n мүчөсүнүн суммасы
1. Арифметикалык прогрессиянын негизги касиети
Бул эмне үчүн иштейт? Биринчи мүчөсү $a_1$ жана айырмасы $d$ болгон АПда:
$$a_p + a_m = (a_1 + (p-1)d) + (a_1 + (m-1)d) = 2a_1 + (p + m - 2)d$$
$$a_k + a_l = (a_1 + (k-1)d) + (a_1 + (l-1)d) = 2a_1 + (k + l - 2)d$$
$p + m = k + l$ болгондуктан, эки туюнтма бирдей. ✓
Себеби, эгерде бир мүчө башынан $k$ орунда, ал эми экинчиси аягынан $k$ орунда турса, алардын индекстеринин суммасы $1 + n$ ге барабар болот.
2. Сумма формуласын чыгаруу (Гаусстун ыкмасы)
$S_n$ АПнын биринчи $n$ мүчөсүнүн суммасын белгилесин:
1-кадам: $S_n$ ди өсүү тартибинде жазабыз:
$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1} + a_n$
2-кадам: $S_n$ ди кайра тескери (кемүү) тартибинде жазабыз:
$S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_2 + a_1$
3-кадам: Эки катарды мүчө-мүчө кошобуз:
$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + (a_3 + a_{n-2}) + \cdots + (a_n + a_1)$
4-кадам: Бирдей аралык касиети боюнча, ар бир жуп $(a_1 + a_n)$ берет, жана мындай $n$ жуп бар:
$2S_n = n \cdot (a_1 + a_n)$
5-кадам: Эки тарапты тең 2ге бөлөбүз:
Бул кээде мындайча сүрөттөлөт: сумма биринчи жана акыркы мүчөлөрдүн орточосун мүчөлөрдүн санына көбөйтүүгө барабар.