Векторлор ортосундагы бурч
Эки вектордун ортосундагы бурч деген эмне?
Эки вектор бир чекиттен чыкканда, алардын ортосунда бурч пайда болот. $\theta$ менен белгиленген бул бурч, эки вектордун канчалык "бир багытта" же "карама-каршы" экенин көрсөтөт.
$\vec{a}$ жана $\vec{b}$ эки вектору берилгенде, алардын ортосундагы бурч — бул эки вектор учтарынан (бир чекиттен баштап) жайгаштырылганда пайда болгон эң кичине бурч. Бул бурч ар дайым $0° \leq \theta \leq 180°$ шартын канааттандырат.
Скалярдык көбөйтүндү формуласы
Векторлор ортосундагы бурчту табуунун негизги куралы — скалярдык көбөйтүндү (дот көбөйтүндү деп да аталат).
Аныктама: Скалярдык көбөйтүндү
$\vec{a} = (a_1, a_2)$ жана $\vec{b} = (b_1, b_2)$ эки вектору үчүн:
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$$Аныктама: Вектордун чоңдугу
$\vec{a} = (a_1, a_2)$ векторунун чоңдугу (узундугу):
$$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$$⭐ Бурч формуласы
$\vec{a}$ жана $\vec{b}$ векторлорунун ортосундагы $\theta$ бурчу төмөнкү формула менен табылат:
$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$Демек:
$$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\right)$$Эстеп калуу керек болгон өзгөчө учурлар
| Шарт | Бурч $\theta$ | Мааниси |
|---|---|---|
| $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ | $0° < \theta < 90°$ | Векторлор окшош багытта (курч бурч) |
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ | $\theta = 90°$ | Векторлор перпендикуляр (ортогоналдуу) |
| $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ | $90° < \theta < 180°$ | Векторлор карама-каршы багытта (доңуз бурч) |
| $\cos\theta = 1$ | $\theta = 0°$ | Векторлор параллель (бир багытта) |
| $\cos\theta = -1$ | $\theta = 180°$ | Векторлор карама-каршы параллель (тескери багытта) |