Негизги тригонометриялык функциялардын аныктамасы
1. Даярдоо: Айлананын үстүндөгү чекит
Биз бардык тригонометриялык аныктамалардын негизи болуп кызмат кыла турган геометриялык сүрөттү түзүүдөн баштайбыз.
- Координаталар тегиздигинин башталышына O чекитин коюңуз.
- Оң $x$-огу боюнча баштапкы радиусту OA сызыңыз.
- OA ны $\alpha$ бурчка айландырыңыз (оң бурчтар үчүн саат жебесине каршы) жана акыркы радиусту OB алыңыз.
- B чекити O борборлуу $R$ радиустуу айлананын үстүндө жатат, ошондуктан $B$ нин координаталары $(x;\, y)$.
2. Негизги түшүнүк — Катыштар R ге көз каранды эмес
Эмне үчүн биз тригонометриялык функцияларды бирдик айлана менен гана эмес, каалаган айлана менен аныктай алабыз? Анткени $\dfrac{y}{R}$ жана $\dfrac{x}{R}$ катыштары $R$ канчалык чоң же кичине болбосун, бирдей бойдон калат.
Окшош үч бурчтуктар менен далилдөө
O борборлуу $R_1$ жана $R_2$ радиустуу эки айлана алыңыз. Бирдей $\alpha$ бурчу үчүн акыркы радиус биринчи айлананы $B_1(x_1;\, y_1)$ чекитинде, экинчисин $B_2(x_2;\, y_2)$ чекитинде кесет.
$B_1$ жана $B_2$ чекиттеринен $x$-огуна перпендикулярлар түшүрүңүз, $\triangle OB_1C_1$ жана $\triangle OB_2C_2$ тик бурчтуу үч бурчтуктарын түзүңүз.
Бул үч бурчтуктардын O чекитинде $\alpha$ бурчу жалпы жана экөөнүн тең C чекитинде тик бурчу бар, ошондуктан алар окшош (ББ белгиси). Демек:
$$ \frac{y_1}{R_1} = \frac{y_2}{R_2} \qquad \text{жана} \qquad \frac{x_1}{R_1} = \frac{x_2}{R_2} $$Корутунду: Катыштар $R$ радиуска эмес, бурч $\alpha$ га гана көз каранды. Дал ушул нерсе тригонометриялык функцияларды так аныкталган кылат.
Бурчту өзгөртүү үчүн сыдырманы жылдырыңыз жана катыштар бирдей бойдон калганда эки окшош үч бурчтуктун кантип өзгөрөрүн байкаңыз.