Рационал көрсөткүчтүү даража
1. Мотивация: Эмне үчүн рационал көрсөткүчтөр керек?
Сиз бүтүн көрсөткүчтүү даражалар менен иштөөнү билесиз: $a^2$, $a^{-3}$, $a^0 = 1$ ж.б. Бирок $a^{1/2}$ же $a^{2/3}$ эмнени билдирет?
Негизги идея: Бөлчөк (рационал) көрсөткүчтөрдү киргизгенде, биз бүтүн көрсөткүчтөрдүн бардык касиеттери сакталышын талап кылабыз. Атап айтканда, даражаны даражага көтөрүү эрежеси иштеши керек:
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
Келгиле, бул эмнеге алып келерин карайлы. $(a^{1/2})^2 = a^{(1/2) \cdot 2} = a^1 = a$ болушун каалайбыз дейли. Бул $a^{1/2}$ квадраты $a$ га барабар болгон сан экенин билдирет. Бул так $\sqrt{a}$!
Ошондой эле, $(a^{1/n})^n = a^1 = a$, демек $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$.
⚠️ Маанилүү чектөө: Рационал көрсөткүчтөр туура аныкталышы үчүн негиз оң ($a > 0$) болушу керек. Эмне үчүн экенин жакында көрөбүз.
2. $a^{m/n}$ аныктамасы
Аныктама
$a > 0$ жана рационал сан $r = \dfrac{m}{n}$ үчүн, мында $m$ — бүтүн сан, $n$ — натурал сан:
$$\boxed{a^r = a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}}$$Мындан тышкары, эгерде $m$ жана $n$ натурал сандар болсо, анда $0^{m/n} = 0$.
Мисалдар:
| Туюнтма | Которуу | Мааниси |
|---|---|---|
| $5^{2/5}$ | $\sqrt[5]{5^2} = \sqrt[5]{25}$ | $\sqrt[5]{25} \approx 1.904$ |
| $2^{0.5} = 2^{1/2}$ | $\sqrt{2}$ | $\approx 1.414$ |
| $10^{-1} = 10^{-1/1}$ | $\sqrt[1]{10^{-1}} = \dfrac{1}{10}$ | $0.1$ |
| $8^{2/3}$ | $\sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64}$ | $4$ |
| $27^{-1/3}$ | $\dfrac{1}{\sqrt[3]{27}} = \dfrac{1}{3}$ | $\approx 0.333$ |