Өсүүчү жана Кемүүчү Ырааттуулуктар
Ырааттуулук деген эмне?
Ырааттуулук — бул белгилүү бир мыйзамченемге же эрежеге баш ийген сандардын иреттелген тизмеси. Ырааттуулуктагы ар бир сан мүчө деп аталат. Мүчөлөрдү $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ деп белгилейбиз, мында $a_n$ — $n$-чи мүчөнү билдирет.
📈 Өсүүчү Ырааттуулуктар
Аныктама: $\{a_n\}$ ырааттуулугу өсүүчү деп аталат, эгерде ар бир мүчө мурунку мүчөдөн чоң болсо:
$$a_{n+1} > a_n \quad \text{бардык } n \geq 1 \text{ үчүн}$$
Башкача айтканда, катар мүчөлөрдүн ортосундагы айырма ар дайым оң:
$$a_{n+1} - a_n > 0$$
Мисалдар:
- $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ (ар бир мүчө 3кө көбөйөт)
- $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ (ар бир мүчө 2 эсе көбөйөт)
- $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ (толук квадраттар: $n^2$)
Так өсүүчү жана так эмес өсүүчү:
Эгерде $a_{n+1} \geq a_n$ (барабар мүчөлөргө жол берилсе), аны кемибес же алсыз өсүүчү деп атайбыз. $a_{n+1} > a_n$ так аткарылганда, ал так өсүүчү деп аталат.
Эгерде $a_{n+1} \geq a_n$ (барабар мүчөлөргө жол берилсе), аны кемибес же алсыз өсүүчү деп атайбыз. $a_{n+1} > a_n$ так аткарылганда, ал так өсүүчү деп аталат.
📉 Кемүүчү Ырааттуулуктар
Аныктама: $\{a_n\}$ ырааттуулугу кемүүчү деп аталат, эгерде ар бир мүчө мурунку мүчөдөн кичине болсо:
$$a_{n+1} < a_n \quad \text{бардык } n \geq 1 \text{ үчүн}$$
Башкача айтканда, катар мүчөлөрдүн ортосундагы айырма ар дайым терс:
$$a_{n+1} - a_n < 0$$
Мисалдар:
- $20, 17, 14, 11, 8, \ldots$ (ар бир мүчө 3кө азаят)
- $100, 50, 25, 12.5, \ldots$ (ар бир мүчө 2 эсе азаят)
- $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$ ($\frac{1}{n}$ ырааттуулугу)
Так кемүүчү жана так эмес кемүүчү:
Эгерде $a_{n+1} \leq a_n$ (барабар мүчөлөргө жол берилсе), аны өспөс же алсыз кемүүчү деп атайбыз. $a_{n+1} < a_n$ так аткарылганда, ал так кемүүчү деп аталат.
Эгерде $a_{n+1} \leq a_n$ (барабар мүчөлөргө жол берилсе), аны өспөс же алсыз кемүүчү деп атайбыз. $a_{n+1} < a_n$ так аткарылганда, ал так кемүүчү деп аталат.