Полиномдор жана алардын тамырлары
Университетке чейинки алгебра боюнча толук сабак
1. Киришүү жана мотивация
Полиномдор — математиканын эң негизги объекттеринен. Алар бардык жерде кездешет — мурунку курстарда чечкен квадраттык теңдемелерден баштап, физика, инженерия, экономика жана информатикада колдонулган татаал моделдерге чейин. Полиномдун тамырларын — аны нөлгө барабар кылган маанилерди — табуу алгебранын негизги маселелеринин бири болуп саналат.
Бул сабакта биз полиномдор жана алардын тамырлары жөнүндө толук сүрөт түзөбүз: аныктамалардан баштап, терең түзүлүштү ачып берген күчтүү теоремаларга чейин. Сабактын аягында сиз тамырларды кантип табууну гана эмес, аларды табуудан мурун алар жөнүндө эмнени билүүгө болорун да түшүнөсүз.
2. Полиномдор: Аныктамалар жана терминология
2.1 Полином деген эмне?
$x$ өзгөрмөсүнө карата полином — бул төмөнкү формадагы туюнтма:
$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$$
мында $n$ — терс эмес бүтүн сан, $a_i$ — коэффициенттер деп аталган туруктуулар, жана $a_n \neq 0$.
Негизги терминдер
| Термин | Мааниси | $P(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7$ менен мисал |
|---|---|---|
| Даража | Нөлдөн айырмаланган коэффициенти бар $x$-тин эң жогорку даражасы | $4$ |
| Жетектөөчү коэффициент | Эң жогорку даражалуу мүчөнүн $a_n$ коэффициенти | $3$ |
| Моникалык полином | Жетектөөчү коэффициенти $1$ болгон полином | Моникалык эмес (жетектөөчү коэфф. 3) |
| Туруктуу мүчө | $a_0$ коэффициенти ($x$ жок мүчө) | $7$ |
2.2 Полиномдордун барабардыгы
Эки полином барабар болот, эгерде жана эгерде гана алардын бардык тиешелүү коэффициенттери барабар болсо. Бул жөнөкөй көрүнгөн факт абдан күчтүү — ал Виетанын формулаларынын жана көптөгөн далилдөө ыкмаларынын негизи болуп саналат.