1. Жол маанилүү эмес болгондо — Консервативдик талаа
Эң эски суроого жооп: Бул блок бою биз сурап келдик: "Качан жолду этибарга албай, баштапкы жана аяктоочу чекиттерге гана көңүл бурсак болот?" Жооп — консервативдик вектордук талаа — сызыктуу интеграл сиз кайдан баштап, кайда бүтүрөрүңүзгө гана көз каранды болгон талаа.
Аныктама
Эгерде скалярдык функция $f$ — потенциалдык функция деп аталган — бар болсо жана
$$ \mathbf{F} = \nabla f $$болсо, $\mathbf{F}$ вектордук талаасы консервативдик (же потенциалдык талаа) деп аталат.
Градиент — бул блоктун эң биринчи оператору — бул жерде жооп катары кайтып келет: консервативдик талаа — бул жөн гана градиент.
Төрт эквиваленттүүлүк
Жөнөкөй-байланышкан аймакта үзгүлтүксүз биринчи жарым-жартылай туундулары бар $\mathbf{F}$ вектордук талаасы үчүн, төмөнкү билдирүүлөрдүн баары эквиваленттүү:
| # | Билдирүү | Интуитивдик окуу |
|---|---|---|
| (i) | Кайсы бир скалярдык $f$ үчүн $\mathbf{F} = \nabla f$ | Талаа градиент — потенциал бар. |
| (ii) | $\displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ жолдон көз карандысыз | Чекиттер гана маанилүү; жол маанисиз. |
| (iii) | Ар бир жабык ийри сызык $C$ үчүн $\displaystyle\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0$ | Эч бир циклда таза иш жок — бардык жерде нөлдүк циркуляция. |
| (iv) | $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$ (жоголгон ротор) | Дифференциалдык тест — эч бир жерде жергиликтүү айлануу жок. |
Негизги тождество — Биринчи дубал
Эмне үчүн (i) $\Rightarrow$ (iv) аткарылат? Анткени төмөнкү тождество бар:
$$ \nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0} $$