1. Кириш суроо: Тейлордон Фурьеге
Тейлор катарын эстеп көрөлү: жылмакай $f(x)$ функциясы берилгенде, биз мындай жазабыз
$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots $$
Бул жергиликтүү полиномдук окшоштуруу — жакындоо $a$ чекитинин жанында эң сонун, бирок алыстаган сайын ажырап кетиши мүмкүн. Тейлор катары бир чекиттеги маалыматты ($a$ чекитиндеги туундуларды) колдонуп функцияны калыбына келтирет.
| Өзгөчөлүк | Тейлор катары | Фурье катары |
|---|---|---|
| Курулуш блоктору | Даражалар: $1, x, x^2, x^3, \ldots$ | Толкундар: $\cos(nx), \sin(nx)$ |
| Колдонулган маалымат | Бир чекиттеги туундулар | Бир толук период боюнча интегралдар |
| Колдонуу чөйрөсү | Жергиликтүү ($x = a$ жанында) | Глобалдуу (бүт период боюнча) |
| Эң ылайыктуу | Жылмакай, аналитикалык функциялар | Периоддук функциялар (үзгүлтүктүүлөрү да) |
Периоддуулук сөздүгү
$f(x)$ функциясы $T$ периоду менен периоддук деп аталат, эгерде бардык $x$ үчүн $f(x + T) = f(x)$ болсо. Негизги жыштык (фундаменталдык) $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$. Бул жыштыктын бүтүн сандык эселиктериндеги синус-косинус үй-бүлөсү:
$$ \cos(n\omega_0 x), \quad \sin(n\omega_0 x), \quad n = 1, 2, 3, \ldots $$
гармоникалар деп аталат. Музыкада $n=1$ — негизги тон, ал эми $n=2, 3, \ldots$ — обертондор. Музыкалык аспаптын тембри ар бир гармониканын канчалык катышуусу менен аныкталат — Фурье коэффициенттери дал ушуну өлчөйт.