Пифагор тождествосу
Ар бир реалдуу сан $\theta$ үчүн жарактуу.
Бул жалгыз теңдеме — тригонометриядагы эң маанилүү тождество. Ал каалаган бурчтун синусу менен косинусун укмуштуудай жөнөкөй байланыш аркылуу бириктирет: алардын квадраттарынын суммасы дайыма 1ге барабар. Биз муну эки жол менен чыгарабыз — биринчиден, тик бурчтуу үч бурчтуктагы Пифагор теоремасынан (бул курч бурчтар үчүн иштейт), андан кийин бирдик айлананын теңдемесинен (бул бардык реалдуу сандар үчүн иштейт).
Гипотенузасынын узундугу 1 болгон тик бурчтуу үч бурчтукту карагыла. Үч бурчтукту бирдик айланага бир курч бурчу $\theta$ координаталар башталышында болгондой жайгаштыргыла.
- Жанындагы кабырга ($x$-огу боюнча) $\cos\theta$ узундукка ээ.
- Каршысындагы кабырга ($y$-огу боюнча) $\sin\theta$ узундукка ээ.
- Гипотенуза бирдик айлананын радиусуна барабар, ал $1$.
Пифагор теоремасы $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ дейт. $a=\sin\theta$, $b=\cos\theta$, $c=1$ деп алмаштырсак:
$$\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1^{2} = 1$$Бирдик айлана — бул төмөнкү шартты канааттандырган бардык $(x,y)$ чекиттердин жыйындысы
$$x^{2}+y^{2}=1.$$Аныктама боюнча, каалаган реалдуу сан $\theta$ үчүн бирдик айланадагы оң $x$-огунан $\theta$ бурчтагы чекиттин координаталары
$$x = \cos\theta, \qquad y = \sin\theta.$$