1. Лаплас түрлөндүрүүсү — Аныктама жана Конвергенция
Негизги идея: Лаплас түрлөндүрүүсү убакыттын функциясы $f(t)$ комплекстүү өзгөрмө $s$ функциясына айландырат, $f(t)$ азаюучу экспоненциалдык $e^{-st}$ менен көбөйтүп, бардык $t \ge 0$ боюнча интегралдоо аркылуу. Пайдасы: дифференциалдоо көбөйтүүгө айланат — анализ маселелери алгебра маселелерине айланат.
1.1 Расмий аныктама
$f(t)$ функциясы $t \ge 0$ үчүн аныкталсын. Анын Лаплас түрлөндүрүүсү төмөнкүдөй:
$$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st}\, f(t)\, dt$$бул жактагы $s$ маанилери үчүн, кайсы учурда чексиз интеграл конвергенцияланат.
Бул чексиз интеграл — жогорку чеги $\infty$. Биз аны чек катары чечмелейбиз:
$$F(s) = \lim_{N \to \infty} \int_0^{N} e^{-st}\, f(t)\, dt$$Интеграл кээ бир $s$ маанилери үчүн конвергенцияланышы мүмкүн, башкалары үчүн дивергенцияланышы мүмкүн.
1.2 Өсүү шарты — Экспоненциалдык тартип
$f(t)$ функциясы $\alpha$ экспоненциалдык тартиптеги деп аталат, эгерде $M > 0$ жана $T > 0$ константалары бар болсо, мында
$$|f(t)| \le M\, e^{\alpha t} \quad \text{for all } t > T$$Эгерде $f(t)$ $[0, \infty)$ аралыгында бөлүктүү үзгүлтүксүз жана $\alpha$ экспоненциалдык тартиптеги болсо, анда $\mathcal{L}\{f(t)\}$ бардык $s > \alpha$ үчүн бар.
Иштебей калуу мисалы: $f(t) = e^{t^2}$ функциясы экспоненциалдык тартиптеги эмес — ал каалаган $e^{\alpha t}$ караганда тезирээк өсөт. Анын Лаплас түрлөндүрүүсү эч кандай $s$ үчүн жок.