Суммадан көбөйтүндүгө & Көбөйтүндүдөн суммага формулалар
Суммаларды көбөйтүндүлөргө жана көбөйтүндүлөрдү суммаларга айландыруу — тригонометриядагы кошуу менен көбөйтүүнүн ортосундагы көпүрө
Негизги идея
Сиз бурчтарды кошуу формулаларын мурунтан эле билесиз. Бул жерде жаңы эч нерсе киргизилген жок. Бул сабактагы ар бир формула сизде мурунтан бар болгон эки кошуу тождестигин кошуу же кемитүү аркылуу чыгарылат. Пайдасы абдан чоң: сиз тригонометриялык суммаларды көбөйтүндүлөргө ажыратуу (теңдемелерди чечүү үчүн зарыл) жана тригонометриялык көбөйтүндүлөрдү сызыктуулаштыруу (интегралдоо жана жөнөкөйлөтүү үчүн зарыл) мүмкүнчүлүгүнө ээ болосуз.
1. Көбөйтүндүдөн суммага формулалар
Бул формулалар эки тригонометриялык функциянын көбөйтүндүсүн сумма же айырма түрүндө кайра жазат. Алардын төртөө бар:
- $\sin A \cos B = \dfrac{1}{2}\bigl[\sin(A+B) + \sin(A-B)\bigr]$
- $\cos A \sin B = \dfrac{1}{2}\bigl[\sin(A+B) - \sin(A-B)\bigr]$
- $\cos A \cos B = \dfrac{1}{2}\bigl[\cos(A-B) + \cos(A+B)\bigr]$
- $\sin A \sin B = \dfrac{1}{2}\bigl[\cos(A-B) - \cos(A+B)\bigr]$
Чыгаруу (sin A cos B)
Сиз мурунтан билген эки кошуу формуласынан баштайбыз:
(i) жана (ii) теңдемелерди кошобуз:
$$\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2\sin A\cos B$$Эки тарабын тең 2гө бөлөбүз:
$$\boxed{\sin A\cos B = \tfrac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]}$$Чыгаруу (sin A sin B)
Косинустун кошуу формулаларынан баштайбыз: