1.1 Бир өзгөрмөлүү эреже

Сиз аныкталган интеграл үчүн алмаштыруу эрежесин мурунтан билесиз. Эгерде $x = g(u)$ — $[c,d]$ аралыгын $[a,b]$ аралыгына чагылдырган дифференциалданган, бирге-бир функция болсо, анда

$$ \int_a^b f(x)\,dx \;=\; \int_c^d f\!\bigl(g(u)\bigr)\,\bigl|g'(u)\bigr|\,du. $$

Бир эле учурда эки нерсе болот:

1. Чектер өзгөрөт — $a$ жана $b$ алардын баштапкы элестери $c$ жана $d$ менен алмашылат.
2. Туунду көбөйтүндүсү төлөнөт — $|g'(u)|$ көбөйтүндүсү $g$ функциясынын $u$-огун созуусун же кысуусун компенсациялайт.

1.2 Жооп: Якобиан детерминанты

Бир өлчөмдүү туунду $g'(u)$ кичинекей $du$ аралыгынын $dx$ болуп канчалык созулганын өлчөйт. Эки өлчөмдө $T(u,v) = \bigl(x(u,v),\, y(u,v)\bigr)$ чагылтуусу кичинекей тик бурчтуктарды кичинекей параллелограммдарга созот. Бул жергиликтүү аянт чоңойтуусун өлчөгөн көбөйтүндү — Якобиан детерминантынын абсолюттук мааниси:

$$ \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| \;=\; \left|\det\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}\right| \;=\; \left|\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}\right|. $$

Бул Якобиан — жергиликтүү кайтарымдуулукту жана аянт чоңойтуусун изилдегенде курган механизмибиз, эми интеграл формуласына орнотулган.