1. Структура теоремасы: Жалпы чечим = Бирдей тектүү үй-бүлө + Бир жеке чечим
Биз туруктуу коэффициенттүү экинчи тартиптеги сызыктуу бирдей тектүү эмес ОДТны изилдейбиз:
$$a\,y'' + b\,y' + c\,y = f(x) \qquad (a \neq 0)$$мында $a, b, c$ — чыныгы туруктуулар жана $f(x) \neq 0$ — мажбурлоочу функция (ошондой эле оң тарап же бирдей тектүү эмес мүчө деп аталат).
Структура теоремасы (Жалпы чечим)
$\;a\,y'' + b\,y' + c\,y = f(x)\;$ теңдемесинин жалпы чечими:
$$\boxed{y = y_h + y_p}$$мында
- $y_h = c_1 y_1 + c_2 y_2$ — тиешелүү бирдей тектүү теңдеменин жалпы чечими $a\,y'' + b\,y' + c\,y = 0$, жана
- $y_p$ — бирдей тектүү эмес теңдеменин каалаган бир жеке чечими.
Бул эмне үчүн иштейт? — Сызыктуулуктун белеги
$y_A$ жана $y_B$ экөө тең бирдей тектүү эмес теңдеменин чечимдери болсун дейли. $w = y_A - y_B$ деп аныктайлы. Анда:
$$a\,w'' + b\,w' + c\,w = a\,y_A'' + b\,y_A' + c\,y_A - \bigl(a\,y_B'' + b\,y_B' + c\,y_B\bigr) = f(x) - f(x) = 0$$Демек, $w = y_A - y_B$ бирдей тектүү теңдемени канааттандырат. Башкача айтканда, бирдей тектүү эмес теңдеменин каалаган эки чечиминин айырмасы бирдей тектүү теңдеменин чечими болот. Бул бирдей тектүү эмес теңдеменин ар бир чечими $c_1, c_2$ туруктууларынын кандайдыр бир тандоосу үчүн $y_h + y_p$ формасында болот дегенди билдирет.
Биринчи тартиптеги сызыктуу теңдемелерден $y' + p(x)y = q(x)$ эстеңиз: жалпы чечим $y = y_h + y_p$ болчу, мында $y_h = Ce^{-\int p\,dx}$ жана $y_p$ интеграциялоочу фактор аркылуу табылган. Ошол эле структуралык үлгү азыр экинчи тартипке өтөт — бул курстун негизги принциби.