Туундулар менен функцияларды талдоо: Монотондуулук жана Экстремумдар
Ферманын теоремасынан колдонмо оптималдаштырууга чейин — Толук баяндоо
Көпүрө теоремалары
Үч классикалык натыйжа туундунун жергиликтүү жүрүм-турумун функциянын глобалдык жүрүм-туруму менен байланыштырган логикалык чынжырды түзөт. Ар бир теорема мурункусуна негизделет.
1.1 Ферманын теоремасы (Ички экстремум теоремасы)
Формулировка. $f$ функциясы $c$ чекитин камтыган ачык аралыкта аныкталсын. Эгерде $f$ функциясы $c$ чекитинде жергиликтүү экстремумга ээ болсо жана $f$ $c$ чекитинде дифференциалданса, анда
$$f'(c) = 0.$$
Далилдөө
$f$ функциясы $c$ чекитинде жергиликтүү максимумга ээ деп кабыл алалы. Анда $\delta > 0$ сандары бар, $|x - c| < \delta$ болгон бардык $x$ үчүн $f(c) \ge f(x)$. Айырма бөлүгүн карайлы:
- $h > 0$ болгондо: $\;\displaystyle\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \le 0$ (алуучу $\le 0$, бөлүүчү $> 0$).
- $h < 0$ болгондо: $\;\displaystyle\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \ge 0$ (алуучу $\le 0$, бөлүүчү $< 0$).
$h \to 0$ болгондо чекти алсак:
$$f'(c) = \lim_{h\to 0^+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \le 0 \quad\text{жана}\quad f'(c) = \lim_{h\to 0^-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \ge 0.$$Эки теңсиздик тең $f'(c) = 0$ болууга мажбурлайт. Жергиликтүү минимум үчүн далилдөө окшош (теңсиздиктер тескери болот). $\square$
Геометриялык мааниси
Жылмакай ийри сызыктын жергиликтүү экстремумунда жаныма сызыгы горизонталдуу болот. Жаныма сызыгынын жантайыңкылыгы нөлгө барабар.
⚠ Тескери теорема ЖАЛГАН. $f'(c)=0$ экстремумду кепилдебейт. Классикалык каршы мисал — $x=0$ чекитинде $f(x)=x^3$: $f'(0)=0$, бирок $f$ $0$ аркылуу катуу өсүүчү.