1. Таажы кийген вектор: Аныктама жана белгилөө
Аныктама — Градиент вектору
Эки же үч өзгөрмөлүү дифференциалдануучу скалярдык функция $f$ берилсин, $f$ функциясынын градиенти — бул анын бардык жеке туундуларынан турган вектор:
$$ \nabla f(x,y) = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\; \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle \qquad \text{(эки өзгөрмөлүү)} $$ $$ \nabla f(x,y,z) = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\; \frac{\partial f}{\partial y},\; \frac{\partial f}{\partial z} \right\rangle \qquad \text{(үч өзгөрмөлүү)} $$$\nabla$ символу набла (же дел) деп аталат. Ал «набла $f$» же «дел $f$» деп окулат. Набла аталышы байыркы Египет/Ассирия арфасынын формасынан келип чыккан.
Чекитте бааланган жана вектордук талаа катары
Градиентти түшүнүүнүн эки бири-бирин толуктаган жолу бар:
- Бир чекитте: $\nabla f(a,b)$ — бул конкреттүү вектор, $(a,b)$ чекитинен чыккан бир жебе. Ал $f$ функциясынын ошол жерде эң тез өсүү багытын жана ылдамдыгын көрсөтөт.
- Бүт аныктоо аймагы боюнча (вектордук талаа): Эгер $\nabla f$ аныктоо аймагындагы ар бир чекитте бааланса, ар бир чекитте жебе пайда болот. Бул жебелердин жыйындысы вектордук талаа — бул курста сиз жолуккан биринчи вектордук талаа. Сөздүк алдын ала көрүү: вектордук талаалар алдыдагы вектордук анализ бөлүмүнүн негизги объекттери (дивергенция, ротация, агым, циркуляция). Градиент талаасы — эң жеңил кирүү чекити.
Элестетиңиз: Тоонун топографиялык картасын элестетиңиз. Картадагы ар бир чекитте тиктикке карай жебе тартыңыз, анын узундугу тиктиктин даражасына пропорционалдуу болсун. Жебелердин ошол килеми — бул градиент талаасы $\nabla f$.
Интерактивдүү визуализация — Градиент вектордук талаасы
Интерактивдүү визуализация — толук сабакта жеткиликтүү
$f(x,y)=x^2+y^2$ функциясынын градиент талаасы. Ар бир жебе $\nabla f = \langle 2x,2y\rangle$, радиалдык тышкары (параболоиддин тиктигине) багытталган. Узун жебелер = тик жантайыш.