2×2 Детерминант — Аныктама жана Геометриялык Мааниси
Аныктама
$2 \times 2$ матрица үчүн
$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, $$детерминант — бул скаляр сан:
$$ \det(A) = ad - bc. $$Биз аны $|A|$ же $\det A$ деп да жазабыз.
Геометриялык Мааниси — Параллелограммдын Белгилүү Аянты
$A$ матрицасынын эки сабын тегиздиктеги векторлор катары элестетиңиз:
$$ \mathbf{r}_1 = (a,\, b), \qquad \mathbf{r}_2 = (c,\, d). $$Эки векторду координаталар башталышына жайгаштырыңыз. Алар параллелограмм түзөт. $ad - bc$ детерминанты ошол параллелограммдын белгилүү аянтына барабар.
Эскертүү — Кросс Көбөйтүндү: Эгер сиз эки өлчөмдүү векторлордун кросс көбөйтүндүсүн окуган болсоңуз, $\mathbf{r}_1 \times \mathbf{r}_2 = ad - bc$ экенин көргөнсүз. Бул так детерминант! Кросс көбөйтүндүнүн чоңдугу аянтты берет; белгиси багытты көрсөтөт.
- Оң детерминант: $\mathbf{r}_1$ ден $\mathbf{r}_2$ га айлануу саат жебесине каршы (стандарттык багыт сакталат).
- Терс детерминант: айлануу саат жебеси боюнча (багыт тескери).
- Нөлдүк детерминант: эки вектор коллинеардуу — параллелограмм нөлдүк аянттуу сызыкка айланат.
Негизги Критерий
$\det(A) = 0$ анда жана анда гана саптар пропорционалдуу болгондо (бири экинчисинин скаляр эселенмеси). Геометриялык жактан, векторлор бир же карама-каршы багытта көрсөтөт.
Интерактивдүү визуализация — толук сабакта жеткиликтүү
Интерактивдүү: вектор учтарын сүйрөп, белгилүү аянттын (детерминанттын) кантип өзгөрөрүн көрүңүз.
3×3 Детерминант — Саррюс Эрежеси жана Белгилүү Көлөм
Жайылтуу Эрежеси
Төмөнкү матрица үчүн
$$ A = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}, $$детерминант:
$$ \det(A) = a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_3 b_2 c_1 - a_2 b_1 c_3 - a_1 b_3 c_2. $$