Биринчи замечательный чек
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$
Англис тилдүү адабиятта Негизги тригонометриялык чек (Fundamental Trigonometric Limit), ал эми орус математикалык салтында Биринчи замечательный чек (первый замечательный предел) деп аталат.
1. Аныктама жана мааниси
Эмне үчүн бул тривиалдуу эмес?
$x = 0$ болгондо, алымдагы $\sin x$ да, бөлүмдөгү $x$ да нөлгө барабар. Эгер түздөн-түз алмаштырсак:
$$\frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0} \quad \text{— аныкталбаган форма!}$$Бул чыныгы $\frac{0}{0}$ аныкталбаган форма. $\frac{0}{0}$ туюнтмасы сан эмес — ал каалаган нерсеге «барабар» болушу мүмкүн. Чектин так $1$ ге барабар экенин аныктоо үчүн атайын далилдөө керек.
Геометриялык интуиция
Бирдик айлананда, кичинекей бурч $x$ (радиан менен) үчүн:
- Бурч тарабынан чектелген доого узундугу так $x$ ке барабар (радиан ченеминин аныктамасы боюнча).
- Синус $\sin x$ — радиустун вертикалдык проекциясы, хорданын $y$-компоненти.
Кичинекей бурчтар үчүн доого менен хорда дээрлик айырмаланбайт. Синус бурчтун өзүнө дээрлик барабар. Бул чектин геометриялык маңызы.
Интерактивдүү график: $y = \frac{\sin x}{x}$ $x = 0$ жанында
$x \to 0$ болгондо $\frac{\sin x}{x} \to 1$ экенине эки тараптан да көңүл буруңуз. Функция жуп: $\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{\sin x}{x}$.