1. Ортогоналдык базистерди эмне үчүн түзүү керек
Негизги идея
Жалпы базисте вектордун координаталарын табуу үчүн сызыктуу теңдемелер системасын чечүү керек. Ортогоналдык базисте болсо, ар бир координатаны жөн гана скалярдык көбөйтүндү аркылуу түздөн-түз окуп алууга болот — саптарды кыскартуунун кереги жок.
Координаталарды кыйын жол менен табуу (Жалпы базис)
$W$ подмейкиндиги үчүн $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}$ базисиңиз бар дейли, жана $\mathbf{x} \in W$ векторун төмөнкүчө жазгыңыз келет:
$$\mathbf{x} = c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n$$$n$ белгисиздүү $n$ теңдемеден турган системаны чечишиңиз керек — кеңейтилген матрицаны $[\mathbf{v}_1 \;|\; \mathbf{v}_2 \;|\; \cdots \;|\; \mathbf{v}_n \;|\; \mathbf{x}]$ түзүп, саптарды кыскартуу керек. Бул $O(n^3)$ иш талап кылат.
Координаталарды жеңил жол менен табуу (Ортогоналдык базис)
Эгерде $\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n\}$ ортогоналдык базис болсо (башкача айтканда, $i \neq j$ болгондо $\mathbf{u}_i \cdot \mathbf{u}_j = 0$), анда ар бир базис вектору үчүн жайылтуу коэффициенти жөн гана:
Бул эмне үчүн иштейт? $\mathbf{x} = c_1\mathbf{u}_1 + c_2\mathbf{u}_2 + \cdots + c_n\mathbf{u}_n$ алып, эки тарабын $\mathbf{u}_i$ менен скалярдык көбөйтөлү: